حل تمارين درس المسلمات والبراهين – التبرير والبرهان

 

تأكد:

اذكر المسلمة التي تبرر صحة كل عبارة من العبارات الآتية:

       1)  المستويان P وQ يتقاطعان في المستقيم r.

الحل :

المسلمة 1.7، تنص على أنه إذا تقاطع مستويان ،فإن تقاطعهما يكون مستقيما، حيث يشترك الوجهان الأمامي Q والأيسر P في الحرف الذي يمثل المستقيم r.

 

       2)  المستقيمان r و n يتقاطعان في النقطة D.

الحل:

المسلمة 1.6 تنص على أنه إذا تقاطع مستقيمان، فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط.

 

       3)  المستقيم n يحتوي النقاط C,D,E.

الحل:

المسلمة 1.3 تنص على ان المستقيم يحوي نقطتين على الأقل. حيث إن الحرف السفلي للشكل من الجهة الأمامية هو المستقيم n ، والذي يحوي النقاط C,D,E.

 

      4)  المستوى P يحتوي النقاط A,F,D.

الحل:

المسلمة 1.4 تنص على ان المستوى يحتوي ثلاث نقاط على الأقل لا تقع على استقامة واحدة. حيث إن الجانب الأيسر من الشكل أو المستوى P يحوي النقاط A,F,D.

      5)  المستقيم n يقع في المستوى Q.

الحل:

المسلمة 1.5 تنص على انه إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الذي يحويهما يقع بكامله في هذا المستوى.

      6)  المستقيم r هو المستقيم الوحيد الذي يمر بالنقطتين A و D.

الحل:

            المسلمة 1.1   تنص على أنه يوجد مستقيم واحد فقط يمر بنقطتين . حيث إن المستقيم r يحوي النقطتين A,D.

حدد ما إذا كانت كل جملة مما يلي صحيحة دائما أو صحيحة أحيانا أو غير صحيحة أبدا. وفسر تبريرك.

      7)  تتقاطع ثلاثة مستويات في مستقيم.

الحل:

صائبة أحيانا، إذا تقاطع ثلاثة مستويات فيمكن أن يكون تقاطعهما نقطة أو مستقيما.

 

      8)  المستقيم r يحوي النقطة p فقط.

الحل:

غير صائبة أبدا ، بحسب المسلمة 1.3 المستقيم يحوي نقطتين على الأقل.

      9)  يمر مستقيم واحد فقط بنقطتين معلومتين.

      الحل:

      صائبة دائما، بحسب المسلمة 1.1 أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.

 

في الشكل المجاور: يقع AK في المستوى P وتقع النقطة M على  NE.
اذكر المسلمة التي تثبت صحة كل من العبارات الآتية:

      10)                 M,K,N تقع في مستوى واحد.

الحل:

المسلمة 1.2 ، أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط.

      11)                 NE يحوي النقطتين M,N.

الحل:

المسلمة 1.3 المستقيم يحوي نقطتين على الأقل.

      12)                 النقاط N,k,A تقع في المستوى نفسه.

الحل:

المسلمة 1.2، أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط.

      13)                 برهان: في الشكل المجاور AE=DB، والنقطة C نقطة منتصف كل من AE وDB . اكتب برهانا حرا لإثبات أن AC=CB.

الحل:

تدرب وحل المسائل:

كعك: اذكر المسلمة التي تبرر صحة كل عبارة من العبارات الآتية:

      14)                 المستقيمان n وl يتقاطعان في النقطة K.

الحل:

المسلمة 1.6 ، تنص على أنه إذا تقاطع مستقيمان ، فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط، حيث تشكل الحافتان العلويتان n و l للطبقة السفلية مستقيمين متقاطعين.

      15)                 المستويان P,Q يتقاطعان في المستقيم m.

الحل:

المسلمة 1.7 ، التي تنص على أنه إذا تقاطع مستويان، فإن تقاطعهما يكون مستقيما، حيث يشترك الوجهان الاماميان P,Q للطبقة السفلى في الحرف الذي يمثل المستقيم m، ولذلك يتقاطع المستويان P,Q في المستقيم m.

       16)                 النقاط D,K,H تحدد مستوى.

الحل:

المسلمة 1.2 ، يمر مستوى واحد فقط في ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة. حيث إن الوجه الأمامي الأيسر من الطبقة السفلية من الكعكة P يحوي النقاط H,K,D ويكون مستوى.

       17)                 النقطة D تقع على المستقيم n المار بالنقطتين C,K.

الحل:

المسلمة 1.3، التي تنص على أن المستقيم يحوي نقطتين على الأقل، للطبقة السفلية. والنقاط C,D,K تقع على هذا الحرف لذا فإنها تقع على المستقيم n.

       18)                 النقاط E,F,G تقع في المستوى نفسه.

الحل:

المسلمة 1.2 ، التي تنص على أنه يوجد مستوى واحد يمر في أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة . حيث إن الوجه الامامي الأيمن من الطبقة السفلية للكعكة يحوي النقاط G,K,E,F والتي تمثل مستوى.

       19)                 EF يقع في المستوى Q.

الحل:

المسلمة 1.5، التي تنص على أنه إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الوحيد المار بهما يقع كليا في ذلك المستوى، حيث إن الوجه الامامي Q يحوي النقطتين E و F، فالمستقيم الذي يمر بهما يقع في المستوى الذي يمثله هذا الوجه.

      20)                 المستقيمان g,h يتقاطعان في النقطة J.

الحل:

المسلمة 1.6 ، التي تنص على أنه إذا تقاطع مستقيمان ، فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط، حيث إن الوجه الأمامي الأيسر من الطبقة السفلية ، فيه الحافة السفلية واليسرى تشكلان مستقيمين متقاطعين.

حدد ما إذا كانت كل جملة مما يلي صحيحة دائما أو صحيحة أحيانا أو غير صحيحة أبدا. فسر تبريرك.

       21)                 يوجد مستوى واحد فقط يحوي النقاط الثلاث A,B,C التي لا تقع على استقامة واحدة.

الحل:

صائبة دائما. تنص المسلمة 1.2 على أن أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط.

       22)                 ثلاثة مستقيمات على الأقل تمر بالنقطتين J و K.

الحل:

غير صائبة أبدا، المسلمة 1.1 تنص على أن أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.

       23)                 إذا وقعت النقاط M,N,P في المستوى X ، فإنها تقع على استقامة واحدة.

الحل:

صائبة أحيانا، لا يشترط أن تكون النقاط على استقامة واحدة حتى تقع في المستوى نفسه.

       24)                 تقع النقطتان X وY في المستوى Z.  وأي نقطة على استقامة واحدة مع X و Y تقع أيضا في المستوى Z.

الحل:

صائبة دائما ، المسلمة 1.5 تنص على أنه إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن جميع نقاط المستقيم المار بهما تقع في هذا المستوى. 

      25)                 النقاط A,B,C تحدد مستوى.

الحل:

صائبة أحيانا: يجب أن تكون النقاط ليست على استقامة واحدة.

       26)                 برهان: إن علمت أن Y هي نقطة منتصف XZ، وأنZ هي نقطة منتصف YW ، فأثبت أن XY=ZW.

الحل:

المعطيات: Y نقطة منتصف XZ.

             Z نقطة منتصف YW.

المطلوب: XY=ZW

البرهان: تعلم أن Y نقطة منتصف XZ و Z نقطة منتصف YW، ومن تعريف نقطة المنتصف XY=YZ و YZ=ZW بتعريف تطابق القطع المستقيمة.

        27)                 برهان: النقطة L هي نقطة منتصف JK، ويتقاطع JK مع MK في النقطة K. إذا كان MK=JL، فأثبت أن LK=MK.

الحل:

المعطيات: L نقطة منتصف JK.

JK تتقاطع مع MK في K و MK=JL

المطلوب: LK=MK

البرهان: نعلم أن L نقطة منتصف JK . من نظرية نقطة المنتصف ينتج أن JL=LK، وبتطبيق خاصية التعدي للتطابق MK=JL,JL=LK نحصل على MK=LK. ومن خاصية التماثل للتطابق نجد ان LK=MK.

 

       28)                 خرائط: أمام خالد طريقان للانتقال من الموقع A إلى الموقع B كما يظهر في الخريطة المجاورة. إذا كان الحد الأعلى للسرعة المسموح بها على الطريق (1) هو 90 km/h ، وعلى الطريق (2) هو 110 km/h

a)  أي الطريقتين يبدو أقصر طولا؟ فسر تبريرك.

الحل:

الطريق (1). بما أنه يوجد مستقيم واحد يمر بأي نقطتين، وأن الطريق(1) يبدو مستقيما ويمر بالنقطتين A,B، فإنه أقصر الطريقين.

b)  إذا كانت المسافة من A إلى B عبر الطريق (1) تساوي 16.8 km، والمسافة بينهما عبر الطريق (2) تساوي 17.6 km ، فأي الطريقين أسرع وصولا، إذا قاد خالد سيارته بالحد الأعلى للسرعة المسموح بها؟

الحل:

الطريق (2).

في الشكل المجاور، CD و CE واقعان في المستوى P، DH وDJ  واقعان في المستوى Q. اذكر المسلمة التي يمكن استعمالها لإثبات صحة كل عبارة فيما يأتي:

     29)                 النقطتان C و B على استقامة واحدة.

الحل:

المسلمة 1.1، أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.

     30)                 EG يحوي النقاط E,F,G.

الحل:

المسلمة 1.3، كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل.

     31)                 النقطتان D وF تقعان على استقامة واحدة.

الحل:

المسلمة 1.1، أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.

     32)                 النقاط C,D,B تقع في المستوى نفسه.

الحل:

المسلمة 1.2 ، أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط.

     33)                 النقاط Q يحوي النقاط C,H,D,J.

الحل:

المسلمة 1.4 ، كل مستوى يحوي ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة.

     34)                 المستوى P يتقاطع مع المستوى Q في CD.

الحل:

المسلمة 1.7، إذا تقاطع مستويان، فإن تقاطعهما يكون مستقيما.

     35)                 هندسة عمارة: يحسب ميل السطح عادة بقسمة الارتفاع مقيسا بالبوصة على المسافة الأفقية مقيسة بالقدم. استعمل العبارات أدناه لتكتب برهانا حرا للعبارة الآتية: ميل السطح في تصميم أحمد غير كاف.

·      عند استعمال مواد عازلة للماء، يجب أن يكون الميل ¼ بوصة لكل قدم على الأقل.

·      حتى ينحدر الماء بتأثير الجاذبية الأرضية، يجب أن يكون ميل السطح 4   بوصات لكل قدم.

·      صمم أحمد سطح منزله بحيث يكون مائلا.

·      الميل في تصميم أحمد يساوي 2 بوصة لكل قدم.

           الحل:

           صمم أحمد سطح منزله بحيث يكون مائلا ، ويجب أن يكون ميل السطح 4 بوصات لكل قدم على الأقل. إلا أن ميل سطح منزل أحمد هو 2 بوصة لكل قدم ، وهي أقل من 4 بوصات لكل قدم، مما يعني أن الميل في التصميم غير كاف.

     36)                 رياضة: أقيمت بطولة شاركت فيها ثماني فرق كرة قدم للناشئين.

a)  ما عدد المباريات التي ستجرى في الدور الأول؟

الحل:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1=

28

7+6+5+4+3+2+1 = 28 

28 مباراة. 

b)  ارسم شكلا يوضح عدد المباريات الدور الأول. أي مسلمة يمكنك استعمالها لتبرير هذا الشكل؟

الحل:

المسلمة 1.1.

c)   أوجد طريقة حسابية لإيجاد عدد المباريات التي ستجرى في الدور الأول ، بغض النظر عن عدد الفرق المشاركة في البطولة؟

الحل:

إذا كان هناك n فريقا مشاركا في البطولة، فإن عدد مباريات الدور الأول يساوي (n-1)+(n-2+…….+1

أو n(n-1)/2

 

مسائل مهارات التفكير العليا:

      37)                 مسألة مفتوحة: ارسم شكلا يحقق خمسا من المسلمات السبع التي تعلمتها في هذا الدرس. اشرح كيف تحققت كل منها في الشكل.

الحل:

هذا الشكل يحقق المسلمات:

1.1، لأن النقطتين A,B يمر بهما مستقيم واحد فقط.

والمسلمة 1.2، لأن النقاط A,B,C لا تقع على استقامة واحدة، و يمر بها المستوى P فقط.

والمسلمة 1.3، المستقيم n يحوي النقطتين A,B.

والمسلمة 1.4، لأن النقاط A,B,C ليست على استقامة واحدة وتقع في مستوى واحد P.

    وكذلك يحقق المسلمة 1.5، لأنه توجد نقطتان A,B تقعان في المستوى P، والمستقيم n المار بهما أيضا يقع في المستوى P.

 

       38)                 اكتشف الخطأ: قام كل من عمر وسعيد بكتابة برهان لإثبات أنه إذا كانت AB تطابق BD، وكانت A,B,D على استقامة واحدة، فإن B نقطة منتصف AD. وقد بدأ كل منهما برهانه بطريقة مختلفة. أيهما بدأ برهانه بطريقة صحيحة؟ فسر إجابتك. 

الحل:

سعيد، يجب أن يبدأ البرهان بالمعطيات، وهي أن AB تطابق BD، والنقاط A,B,D تقع على استقامة واحدة. 

تبرير: حدد ما إذا كانت الجملة الآتية صحيحة أحيانا أو صحيحة دائما أو غير صحيحة أبدا. فسر تبريرك أو اعط مثالا مضادا.

     39)                 أي ثلاث نقاط يمر بها مستوى واحد فقط.

الحل:

صائبة أحيانا: إذا كانت النقاط لا تقع على استقامة واحدة، فهناك مستوى واحد فقط يمر في هذه النقاط بحسب المسلمة 1.2، والشكل (1) يوضح ذلك. أما إذا كانت النقاط تقع على استقامة واحدة، فإنه يوجد عدد لا نهائي من المستويات التي تمر بها. الشكل (2) يوضح مستويين يمران بثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة. ويمكن رسم مستويات أخرى من الدوران حول هذه النقاط الثلاث.

       40)                 اكتب: بين أوجه الشبه والاختلاف بين المسلمات والنظريات.

الحل:

المسلمات هي العبارات التي تقبل على أنها صحيحة دائما، دون إثبات أما النظريات فهي صحيحة أيضا لكنها تحتاج لإثبات.

  

       41)                 أي العبارات الآتية ليست صائبة؟

A أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تحدد مستوى واحدا فقط.

B يتقاطع المستقيمان في نقطة واحدة تحدد مستوى واحدا فقط.

C يوجد على الأقل مستقيمان يحويان النقطتين نفسيهما.

D تقسم نقطة المنتصف القطعة المستقيمة إلى قطعتين متطابقتين.

الحل:

C

 

     42)                 ما أكبر عدد من المناطق التي تتشكل عندما تقطع ثلاثة مستقيمات مختلفة دائرة ؟

A   4

B   5

C   6

D   7

الحل:

D.

 

مراجعة تراكمية:

استعمل قانون الفصل المنطقي أو قانون القياس المنطقي، لتحصل على نتيجة صائبة من العبارات الآتية إن أمكن، واذكر القانون الذي استعملته. و إذا تعذر الحصول على نتيجة صائبة، فاكتب "لا نتيجة صائبة". فسر تبريرك.

       43)                 (1) إذا كانت الزاويتان متقابلتان بالرأس، فإنهما لا تكونان متجاورتين على مستقيم.

(2) إذا كانت الزاويتان متجاورتين على مستقيم فهما غير متطابقتين.

الحل:

لا نتيجة.

       44)                 (1) إذا كانت الزاوية حادة، فإن قياسها أقل من 90⁰.

(2) <EFG حادة.

الحل:

M<EFG أقل من 90⁰ ، قانون الفصل المنطقي.

 

اكتب العبارتين الشرطيتين الآتيتين على صورة (إذا...فإن...).

        45)                 يكتب اسم الطالب المتفوق في لوحة الشرف.

الحل:

إذا كان الطالب متفوقا، فإن اسمه يكتب في لوحة الشرف.

        46)                 يخشى البطل ان يخسر.

الحل:

إذا كان الشخص بطلا، فإنه يخشى أن يخسر.

 

استعد للدرس اللاحق:

حل كلا من المعادلات الآتية:

        47)                 4x-3=19

الحل:

4x-3=19

4x=19+3

4x=22

X=22/4

X=5.5

       48)                 1/3 x+6 =14

الحل:

1/3x+6=14

1/3 x=14-6

1/3x=8

X=8x3=24

       49)                 5(x²+2)=30

الحل:

5(x²+2)=30

5x² +10 = 30

5x²=30-10

5x²=20

X²=20/5

X²=4

X=2, x=-2